Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=$\frac{3}{2}$AC，D是AC的中點．
（1）求點B₁到平面A₁BD的距離．
（2）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁C₁的中點E，以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B₁到平面A₁BD的距離．
（2）求出平面A₁BD的法向量和平面AA₁B的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-D的余弦值．

解答 解：（1）取A₁C₁的中點E，連結DE，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=$\frac{3}{2}$AC，D是AC的中點，
∴DE⊥平面ABC，BD⊥AC，
以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，
設AA₁=AB=BC=$\frac{3}{2}$AC=3，
則B₁（0，2$\sqrt{2}$，3），A₁（-1，0，3），D（0，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，2$\sqrt{2}$，3），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），
設平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-x+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
∴點B₁到平面A₁BD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}•\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{170}}{170}$．
（2）平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
設平面AA₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
A（-1，0，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，3），$\overrightarrow{AB}$=（1，2$\sqrt{2}$，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=a+2\sqrt{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=2$\sqrt{2}$，得b=-1，∴$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，-1，0），
設二面角A-A₁B-D的平面角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-A₁B-D的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．