Question

【題目】已知函數f（x）=|x|（x﹣a），a為實數．

（1）若函數f（x）為奇函數，求實數a的值；

（2）若函數f（x）在[0，2]為增函數，求實數a的取值范圍；

（3）是否存在實數a（a＜0），使得f（x）在閉區(qū)間上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) a=0．（2）a≤0（3）a=﹣3．

【解析】試題分析：（1）因為f（x）為奇函數，所以f（﹣x）=﹣f（x），根據函數解析式，化簡式子得2a|x|=0對任意x∈R恒成立，求得 ；（2）當 時，f（x）=|x|（x﹣a）可去掉絕對值號得f（x）=x（x﹣a），其對稱軸為 ，要使函數f（x）在[0，2]上單調遞增，由二次函數的圖像可得 ，求 的范圍。（3）當 時， 的解析式去掉絕對值號可得 ，因為f（x）在閉區(qū)間上的最大值為2，由特殊值 ，限定 的范圍，因為函數的對稱軸為 ，因為a＜0，所以函數在（0，+∞）上遞增，所以，所以必在區(qū)間[﹣1，0]上取最大值2，討論函數在[﹣1，0]上的單調性，最大值等于2，可求實數 的值。

試題解析：（1）因為奇函數f（x）定義域為R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0對任意x∈R恒成立，

所以a=0．

（2）因為x∈[0，2]，所以f（x）=x（x﹣a），

顯然二次函數的對稱軸為，由于函數f（x）在[0，2]上單調遞增，

所以，

即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論即可）

（3）∵a＜0，，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值約束范圍）

∴，f（x）在（0，+∞）上遞增，

∴f（x）必在區(qū)間[﹣1，0]上取最大值2．

當，即a＜﹣2時，則f（﹣1）=2，a=﹣3成立

當，即0＞a≥﹣2時，，則（舍）

綜上，a=﹣3．