Question

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在定義域R上的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)有f（0）=0，可求出a，換元后得出
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的證明步驟進(jìn)行證明
（3）將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，轉(zhuǎn)化為t²-2t＞k-2t²，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（x）滿足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
在中令x=1得出f（0）=0，所以a=1
令log₂x=t，則x=2^t，y=f（t）=（t∈R）
所以
（2）減函數(shù)
證明：任取 x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，
由（1）
∵x₁＜x₂，
∴，
∴
∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0
∴該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數(shù)∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），由（2），f（x）是減函數(shù)
∴原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0對(duì)任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式求解、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定及應(yīng)用．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、論證能力．