如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線(xiàn)，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.

(1)  (2)不存在

解析試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為2,則可得的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),求的的值,再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,代入雙曲線(xiàn)結(jié)合之間的關(guān)系即可求的的值,得到雙曲線(xiàn)的方程,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)已知,點(diǎn)在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點(diǎn)的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)分以下兩種情況討論,當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)與只有一個(gè)公共點(diǎn),即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn),得到直線(xiàn)的方程,代入雙曲線(xiàn)求的點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證是否符合等式,當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)消元得到二次方程,再利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到關(guān)于兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和的表達(dá)式,利用出,再立直線(xiàn)與橢圓的方程即可得到直線(xiàn)的關(guān)系,可得到內(nèi)積不可能等于0,進(jìn)而得到,即,即不存在這樣的直線(xiàn).
的焦距為,由題可得,從而,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,所以,由橢圓的定義可得
,于是根據(jù)橢圓之間的關(guān)系可得,所以的方程為.
(2)不存在符合題設(shè)條件的直線(xiàn).
①若直線(xiàn)垂直于軸,即直線(xiàn)的斜率不存在,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8a/6/kfbjc4.png" style="vertical-align:middle;" />與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線(xiàn)的方程為或,
當(dāng)時(shí),易知所以,此時(shí).
當(dāng)時(shí),同理可得.
②當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí),即直線(xiàn)的斜率存在且設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-1,0)與F2(1,0)的距離之和為4．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)曲線(xiàn)C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)M(-4,0)作斜率為k的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于B、C兩點(diǎn)（B在M、C之間），N為BC中點(diǎn)．
(ⅰ)證明：k·kON為定值；
(ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直線(xiàn)l的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的上焦點(diǎn)是F1，過(guò)點(diǎn)P(3,4)和F1作直線(xiàn)PF1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，已知A(，)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)C是橢圓E上到直線(xiàn)PF1距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(－，1)在橢圓上，線(xiàn)段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿(mǎn)足＋＝0．
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)N(x0，y0)關(guān)于直線(xiàn)y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分13分）
已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別為.

（1）求雙曲線(xiàn)的離心率；
（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)？若存在，求出雙曲線(xiàn)的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

圓的切線(xiàn)與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過(guò)點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線(xiàn)段AB為直徑的圓心過(guò)點(diǎn)P，求的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.
（1）求C的方程；
（2）過(guò)F的直線(xiàn)與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線(xiàn)與C相較于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為,拋物線(xiàn)的方程為,線(xiàn)段是拋物線(xiàn)的一條動(dòng)弦．
(1)求拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動(dòng)弦,滿(mǎn)足直線(xiàn)與圓相切，求半徑的取值范圍？

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