如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系．點在正方體的對角線上，點在正方體的棱上．

當點為對角線的中點，點在棱上運動時，探究的最小值；

當點為棱的中點，點在對角線上運動時，探究的最小值；

當點在對角線上運動，點在棱上運動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？

 


（1）有最小值  （2）取得最小值  （3）最小值是


解析:

設(shè)正方體的棱長為．

當點為對角線的中點時，點的坐標是．

因為點在線段上，設(shè)．

　　　．

當時，的最小值為，即點在棱的中點時，有最小值．

因為在對角線上運動．是定點，所以當

時，最短．因為當點為棱的中點時，，是等腰三角形，所以，當點是的中點時，取得最小值．

當點在對角線上運動，點在棱上運動

時，的最小值仍然是．

證明：如下圖，設(shè)，由正方體的對稱性，顯然有．

設(shè)在平面上的射影是．在中，，所以，即有．

所以，點的坐標是．

由已知，可設(shè)，則

．

當時，取得最小值，最小值是．

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如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，探究的最小值；

(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論，你能證明你的結(jié)論嗎？

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如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O－xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB的中點，點在Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線上運動時，探究|PQ|的最小值．

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