Question

已知定點M（0，-1），點N是⊙F：x²+（y-1）²=8（F為圓心）上的動點，線段MN的垂直平分線交NF于點G，記點G的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+1與曲線E相交于A、B兩個不同點，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線l方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意得|GM|=|GN|，|GM|+|GF|=|GN|+|GF|=r=2

2

＞|AF|=2，根據(jù)橢圓的定義可求得動點G的軌跡E的方程；
（II）直線l：y=kx+1與曲線E聯(lián)立得（2+k²）x²+2kx-1=0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因為以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，得出x₁x₂+y₁y₂=0．由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0解得k，即可求出直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得|GM|=|GN|，
∴|GM|+|GF|=|GN|+|GF|=r=2

2

＞|AF|=2
∴G點軌跡是以M、F為焦點的橢圓．
2a=2

2

，a=

2

，a²-b²=c²=1，故b²=1，
∴點G的軌跡方程為

y2

2

+x2=1；
（Ⅱ）直線l：y=kx+1與曲線E聯(lián)立得（2+k²）x²+2kx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x₁x₂=-

1

k2+2

，x₁+x₂=-

2k

k2+2

∵以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，∴OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

1-2k2

k2+2

=0，
∴k=±

2

2

，
∴直線l方程為y=±

2

2

x+1．

點評：本題考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，解決這種求橢圓的方程問題關(guān)鍵是熟悉橢圓中a，b，c之間的關(guān)系，解決求直線方程問題關(guān)鍵是把垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直再結(jié)合者根與系數(shù)的關(guān)系列方程解方程即可，此知識點是高考考查的重點．