Question

8．如圖所示，AB是圓O的直徑，PC是圓O的一條割線，且交圓O于C、D兩點(diǎn)，AB⊥PC，PE是圓O的一條切線，切點(diǎn)為E，AB與BE分別交PC于M、F兩點(diǎn)．
（1）證明：△PEF為等腰三角形；
（2）若PF=5，PD=3，求DC的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OE，利用切線的性質(zhì)可得：OE⊥PE，又AB⊥CD，可得∠B+∠BFM=90°，又∠B=∠FEO，∠BFM=∠PFE，可得∠PEF=∠PFE，即可證明．
（2）由切割線定理可得：PE²=PD•PC，PE=PF，即可得出．

解答 （1）證明：連接OE，∵PE是圓O的一條切線，切點(diǎn)為E，∴OE⊥PE，
∴∠PEF+∠FEO=90°，
又∵AB⊥CD，∴∠B+∠BFM=90°，
又∵∠B=∠FEO，∴∠BFM=∠PEF，
又∵∠BFM=∠PFE，∴∠PEF=∠PFE，∴PE=PF．
∴△PEF為等腰三角形．
（2）解：由切割線定理可得：PE²=PD•PC，PE=PF=5，
∴PC=$\frac{{5}^{2}}{3}$=$\frac{25}{3}$．
∴DC=PC-PD=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．