Question

如圖，在棱長為1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別為A₁B₁、BB₁、CC₁的中點．
（1）證明D₁M、C₁B₁、CN三線共點；
（2）求異面直線D₁P與AM所成角度數(shù)并求CN與AM所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）先說明D₁M∩CN=K，再說明K∈B₁C₁，從而D₁M、C₁B₁、CN三線共點；                                         
（2）利用平行線作出異面直線所成的角，再在三角形中計算．

解答： （1）證明：M、N分別為A₁B₁、BB₁的中點，∴MN∥A₁B，MN=

1

2

A₁B，∴MN∥D₁C，∴M、N、D₁、C共面，D₁M∩CN=K，D₁、M∈面，C、N∈面BC₁，面A₁C₁∩面BC₁=B₁C₁，∴K∈B₁C₁，D₁M、C₁B₁、CN三線共點；                                         
（2）解：連接A₁N，由題意，A₁N∥D₁P，異面直線D₁P與AM所成角即A₁N與AM所成角，由題意，Rt△AA₁M≌Rt△A₁B₁N，∴∠A₁MA=∠B₁NA₁
Rt△A₁B₁N中，∠B₁NA₁+∠B₁A₁N=90°，∴∠A₁MA+∠B₁A₁N=90°，即∠A₁FM=90°，∴異面直線D₁P與AM所成角度數(shù)90°；
G為AB中點，E為BG中點，EN∥AM，∠CNE即CN與AM所成角，在△CNE中，NE=

5

4

，CN=

5

2

，CE=

17

4

，cos∠CNE=

NE2+NC2-CE2

2NE•NC

=

2

5

點評：課題考查三線共點，及異面直線所成的角，相關定理、概念的熟練掌握是關鍵．