Question

18．某單位用3240萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少15層的小高層、每層3000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x（x≥15）層，則每平方米的平均建筑費用為840+kx（單位：元）．已知蓋15層每平方米的平均建筑費用為1245元．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)樓房建為多少層時，樓房每平方米的平均綜合費用最少？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=$\frac{購地總費用}{建筑總面積}$）

Answer 1

分析 （1）由代入和解方程，可得840+15k=1245的解；
（2）設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f（x）元，可得f（x）=（840+27x）+$\frac{3240×10000}{3000x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值點，且為最小值點．

解答 解：（1）由題意可得840+15k=1245，解得k=27；
（2）設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f（x）元，
則f（x）=（840+27x）+$\frac{3240×10000}{3000x}$=840+27x+$\frac{10800}{x}$，x＞0且x∈N*，
f′（x）=27-$\frac{10800}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=20，

x	（0，20）	x=20	（20，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以當(dāng)x=20時，f（x）有最小值．
答：為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為20層．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：求最值，考查化簡整理的運算能力，正確列出函數(shù)的解析式和求出導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．