Question

已知k＜-4，則函數(shù)y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式把函數(shù)整理成關(guān)于cosx的一元二次方程，令cosx=t，則函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口分向可知，進(jìn)而根據(jù)t的范圍和k的范圍推斷出函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)的最小值．

解答：解：y=cos2x+k（cosx-1）=2cos²x-1+kcosx-k=2cos²x+kcosx-（k+1）=0
令cosx=t，則-1≤t≤1，
y=2t²+kt-（k+1），對(duì)稱軸為t=-

k

4

，開(kāi)口向上，
∵-1≤t≤1，k＜-4，
∴函數(shù)在[-1，1]單調(diào)減，進(jìn)而可知當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)有最大值2+k-k-1=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，二倍角公式的化簡(jiǎn)求值．解題的時(shí)候注意對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的判斷．