Question

【題目】若函數(shù)的定義域為，滿足對任意，，有，則稱為型函數(shù)；若函數(shù)的定義域為，滿足對任意，恒成立，且對任意，，有，則稱為對數(shù)型函數(shù)．

（1）當(dāng)函數(shù)時，判斷是否為型函數(shù)，并說明理由．

（2）當(dāng)函數(shù)時，證明：是對數(shù)型函數(shù)．

（3）若函數(shù)是型函數(shù)，且滿足對任意，有，問是否為對數(shù)型函數(shù)？若是，加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不是型函數(shù)，詳見解析（2）證明見解析（3）是對數(shù)型函數(shù)，證明見解析

【解析】

（1）由，作差化簡，得到當(dāng)，同號時，此時，即可得到結(jié)論；

（2）因為恒成立，可利用分析法和函數(shù)的新定義，作出判定和證明．

（3）由的新定義和，得到，進而得到，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解．

（1）由題，函數(shù)，

則

當(dāng)，同號時，此時，

此時不滿足，所以不是型函數(shù)．

（2）因為恒成立，

要證對任意，，，

即證對任意，，，

即證對任意，，．

因為，

所以是對數(shù)型函數(shù)

（3）函數(shù)是對數(shù)型函數(shù)．證明如下：

因為是型函數(shù)，所以對任意，，有，

又由對任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是對數(shù)型函數(shù)．