Question

1．對任意實數(shù)t，不等式|t-3|+|2t+1|≥|2x-1|+|x+2|恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（t）取得最小值為$\frac{7}{2}$，不等式等價于等價于|2x-1|+|x+2|≤$\frac{7}{2}$，去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：由于f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-3t+2，t＜-\frac{1}{2}}\\{t+4，-\frac{1}{2}≤t≤3}\\{3t-2，t＞3}\end{array}\right.$，故當t=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（t）取得最小值為$\frac{7}{2}$．
∴不等式|t-3|+|2t+1|≥|2x-1|+|x+2|恒成立，等價于|2x-1|+|x+2|≤$\frac{7}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{1-2x-x-2≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{-（2x-1）+x+2≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+2≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$③．
解①x∈∅求得，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x≤$\frac{5}{6}$，
綜合可得，不等式的解集為{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{6}$}．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的最值，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．