Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，.

（1）求四棱錐的體積；
（2）求證：∥平面；
（3）求直線和平面所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）證得側(cè)棱底面，體積。
（2）證得∥且，
由四邊形是平行四邊形，得到∥，推出∥平面 。
（3）直線和平面所成的角的正弦值是。

試題分析：（1）∵⊥底面,底面,底面
∴⊥, ⊥
∵,、是平面內(nèi)的兩條相交直線
∴側(cè)棱底面            2分
在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，
，，∴∥且，
所以，四棱錐的體積是。
（2）在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，
，
∴∥且，
∴∥且
∴四邊形是平行四邊形
∴∥
∵，
∴∥平面             8分
（3）∵側(cè)棱底面，底面
∴
∵垂直于，、是平面內(nèi)的兩條相交直線
∴，垂足是點(diǎn)
∴是在平面內(nèi)的射影，
∴是直線和平面所成的角
∵在中，，
∴
∴
∴ 直線和平面所成的角的正弦值是            12分
考點(diǎn):平行關(guān)系，垂直關(guān)系，體積與角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識(shí)加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標(biāo)系，往往能簡(jiǎn)化解題過程。