Question

已知f（x）=

1

x

+ax+6，對(duì)任意實(shí)數(shù)x₀∈[

1

2

，2]，使不等式|f（x₀）|≥

1

2

成立，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得|f（x₀）|在x₀∈[

1

2

，2]上的最小值，然后求解關(guān)于a的不等式得答案．

解答： 解：由f（x）=

1

x

+ax+6，得f′(x)=-

1

x2

+a=

ax2-1

x2

，
若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）在[

1

2

，2]上為減函數(shù)，
|f（x₀）|的最小值為|f(

1

2

)|與|f（2）|中的最小者，
由

|2+ 1 2 a+6|≥ 1 2 | 1 2 +2a+6|≥ 1 2

，得a≤-17或a≥-3，
∴a≤-17或-3≤a≤0；
若a＞0，則由f′（x）=0，得x=±

1 a

，
當(dāng)

1 a

≤

1

2

，即a≥4時(shí)，f（x）在[

1

2

，2]上為減函數(shù)，
|f（x₀）|的最小值為|f(

1

2

)|與|f（2）|中的最小者，
結(jié)合|f(

1

2

)|≥

1

2

且|f（2）|≥

1

2

得a≥4；
當(dāng)

1 a

≥2，即0＜a≤

1

4

時(shí)，f（x）在[

1

2

，2]上為增函數(shù)，
|f（x₀）|的最小值為|f(

1

2

)|與|f（2）|中的最小者，
結(jié)合|f(

1

2

)|≥

1

2

且|f（2）|≥

1

2

得0＜a≤

1

4

；
當(dāng)

1

2

＜

1 a

＜2，即

1

4

＜a＜4時(shí)，f（x）在[

1

2

，

1 a

]上為減函數(shù)，在[

1 a

，2]上為增函數(shù)，
|f（x₀）|的最小值為|f(

1

2

)|、|f（2）|、|f(

1 a

)|中的最小者，
∵|f(

1 a

)|=|

a

+

a

+6|≥

1

2

對(duì)

1

4

＜a＜4恒成立，∴

1

4

＜a＜4．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-17）∪（-3，+∞）．
故答案為：（-∞，-17）∪（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中高檔題．