已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2．
（1）當x∈[0，
π
2
]時，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足
b
a
=
3
，
sin(2A+C)
sinA
=2+2cos（A+C），求f（B）的值．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理,余弦定理
專題：三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形
分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+
π
6
）．由x∈[0，
π
2
]，可得sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]，從而解得f（x）的值域；
（2）由題意根據(jù)三角函數(shù)中的恒等變換應用可得sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又b=
3
a，由余弦定理可解得A的值，從而求得B，C的值，即可求得f（B）的值．
解答： 解：（1）∵f（x）=2
3
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2
=
3
sin2x-2sin2x+1
=
3
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
π
6
）…4分
∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]，
∴f（x）∈[-1，2]…6分
（2）∵由題意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）
有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）
化簡可得：sinC=2sinA，…9分
∴由正弦定理可得：c=2a，
∵b=
3
a，
∴由余弦定理可得：cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3a2+4a2-a2
4
3
a2
=
3
2

∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分
所以可得：f（B）=1…12分
點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，屬于基本知識的考查．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
1
x
+ax+6，對任意實數(shù)x0∈[
1
2
，2]，使不等式|f（x0）|≥
1
2
成立，則a的取值范圍
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列各三角函數(shù)值：
（1）tan（-
π
6
）；
（2）sin（-390°）；
（3）cos（-
7π
3
）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（-1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1對x∈[0，2]恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上有兩個零點，求2b+c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=|-x2+4x-3|的圖象C與直線y=kx相交于點M（2，1），那么曲線C與該直線的交點的個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
3
sinxcosx+3sin2x-
3
2

（1）求f（x）的最小正周期及f（
π
12
）；
（2）求y=f（x）的單調增區(qū)間；
（3）當x∈[
π
3
，
5π
6
]時，求y=f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：
2
．求：
（1）直線PB與與平面ABCD所成角的大��；
（2）直線PB與平面PDC所成角的大�。�
（3）直線PC與平面PBD所成角的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

F1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F1的直線l與C的左右兩支分別交于AB兩點，若BF2⊥AB，且線段AB，BF2，AF2長度成等差數(shù)列，則e=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}的前n項和Sn
（1）求數(shù)列{
Sn
n
}是等差數(shù)列
（2）若a1=1，且對任意正整數(shù)n，k（n＞k），都有
Sn+k
+
Sn-k
=2
Sn
成立，求數(shù)列{an}的通項公式．
（3）記bn=a（a＞0），求證：
b1+b2+…+bn
n
≤
b1+bn
2
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案