Question

19．已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長為4的等邊三角形，三棱錐P-ABC的體積為$\frac{16}{3}$，則該三棱錐的外接球的表面積$\frac{80π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質即可求出OO₁，進而求出底面ABC上的高PD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r，從而解決問題．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形
設球心為O，球的半徑r．過ABC三點的小圓的圓心為O₁，
則OO₁⊥平面ABC，延長CO₁交球于點D，則PD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{3}}$，
∴高PD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{3}}$，
∵△ABC是邊長為4正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}$=4$\sqrt{3}$
∴V_{三棱錐P-ABC}=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{3}}$=$\frac{16}{3}$，
∴r²=$\frac{20}{3}$．
則球O的表面積為4πr²=$\frac{80π}{3}$．
故答案為$\frac{80π}{3}$．

點評 本題考查棱錐的體積，考查球內接多面體，解題的關鍵是確定點P到面ABC的距離．