Question

已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式先利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）又x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值與最小值．

解答：解：f（x）=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，即-1≤f（x）≤2，
則f（x）的最小值為-1，最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．