【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥ 時(shí),設(shè)g(x)=2f(x)+x2的兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2)恰為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點(diǎn),求y=(x1﹣x2)h′( )的最小值.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=lnx﹣mx,∴ ,x>0;

當(dāng)m>0時(shí),由1﹣mx>0解得x< ,即當(dāng)0<x< 時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

由1﹣mx<0解得x> ,即當(dāng)x> 時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)m=0時(shí),f'(x)= >0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)m<0時(shí),1﹣mx>0,故f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

∴當(dāng)m>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ),單調(diào)遞減區(qū)間為( ,+∞);

當(dāng)m≤0時(shí),f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞); …(5分)


(2)解:g(x)=2f(x)+x2=2lnx﹣2mx+x2,則 ,

∴g'(x)的兩根x1,x2即為方程x2﹣mx+1=0的兩根;

又∵m≥

∴△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1;

又∵x1,x2為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點(diǎn),

∴l(xiāng)nx1﹣cx12﹣bx1=0,lnx2﹣cx22﹣bx2=0,

兩式相減得 ﹣c(x1﹣x2)(x1+x2)﹣b(x1﹣x2)=0,

得b= ,

∴y=

= ]

= = ,

(0<t<1),

由(x1+x22=m2得x12+x22+2x1x2=m2,

因?yàn)閤1x2=1,兩邊同時(shí)除以x1x2,得t+ +2=m2,

∵m≥ ,故t+ ,解得t≤ 或t≥2,∴0<t≤ ;

設(shè)G(t)= ,

∴G'(t)= ,則y=G(t)在(0, ]上是減函數(shù),

∴G(t)min=G( )=﹣ +ln2,

的最小值為﹣ +ln2


【解析】(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),討論m的取值,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù),利用極值的定義得出g'(x)=0時(shí)存在兩正根x1 , x2;
再利用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合零點(diǎn)的定義,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)y的最小值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

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