Question

函數(shù)f（x）=mx²-2x+1的零點只有一個是正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是

（-∞，0]U{1}

．

Answer 1

分析：當m=0時，x=

1

2

，滿足題意．當m≠0時，不論拋物線開口向是上還是向下，當有兩個解時，兩個解x₁•x₂＜0，當有一個解時，x＞0．由f（x）=mx²-2x+1=0，知x²-

2x

m

+

1

m

=0，令t=

1

m

（t≠0），則（x-t）²+t-t²=0，故x₁=t+

t2-t

，x₂=t-

t2-t

．由此能求出m的取值范圍．

解答：解：當m=0時，
f（x）=mx²-2x+1=-2x+1=0，x=

1

2

，滿足題意．
當m≠0時，
不論拋物線開口向是上還是向下，當有兩個解時，兩個解x₁•x₂＜0，
當有一個解時，x＞0．
f（x）=mx²-2x+1=0，
∴x²-

2x

m

+

1

m

=0，
令t=

1

m

（t≠0），則（x-t）²+t-t²=0，
∴x₁=t+

t2-t

，x₂=t-

t2-t

．
如果只有一個解，t²-t=0，即t=1，x=t=1＞0滿足題意，此時m=1．
如果有兩個解，t²-t＞0，t（t-2）＞0，t≥2或t＜0．
x₁•x₂=t²-t²+t=t＜0，
∴t＜0，即m＜0．
綜上所述，m的取值范圍m≤0，或m=1．
故答案為：（-∞，0]U{1}．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．