Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=-f（6-x），f（x）=f（2-x），若f（a）=-f（2000），a∈[5，9]且f（x）在[5，9]上單調(diào)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件求得可得 f（x）=f（x+8），再根據(jù) f（a）=-f（2000）=-f（8×250+0）=-f（0）=-f（6-6）=f（6），再結(jié)合a屬于[5，9]，且f（x）在[5，9]上單調(diào)，從而求得a的值．

解答： 解：∵f（x）=-f（6-x），f（x）=f（2-x），即 f（x）=-f（6-x）=f（2-x），
-x用x-2換后可得 f（x）=-f（x+4）．
∴f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x），其周期為8．
再根據(jù) f（a）=-f（2000）=-f（250×8+0）=-f（0）=-f（6-6）=f（6），
又a∈[5，9]且f（x）在[5，9]上單調(diào)，易得a=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，求得f（x）=-f（x+4），是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．