Question

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.

Answer 1

函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3)

欲由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)求a的取值范圍，就要設(shè)法利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
而函數(shù)y=()是一個復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法解決
設(shè)0<x₁<x₂,則－x₂<－x₁<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),
∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.
又a²－3a+1=(a－)²－.
∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是
結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3).
偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同。