Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜ax的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把要求的不等式轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）若不等式f（x）＜ax的解集不是空集，則函數(shù)f（x）的圖象有一部分在直線y=ax的下方，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）＜2可得

2(3-x)+(4-x) ＜2 x＜3

①，或

2(x-3)+(4-x)＜2 3≤x＜4

 ②，
或

2(x-3)+(x-4)＜2 x≥4

 ③．
解①求得

8

3

＜x＜3，解②求得3≤x＜4，解③求得x∈∅，
綜上可得，不等式的解集為（

8

3

，4）．
（Ⅱ）∵f（x）=

10-3x  ，x＜3 x-2  ， 3≤x＜4 3x-10  ，x≥4

，
若不等式f（x）＜ax的解集不是空集，則函數(shù)f（x）的圖象有一部分在直線y=ax的下方，
如圖所示：可得 a＞

1-0

3-0

=

1

3

，或a＜-3，求得a的范圍為（

1

3

，+∞）∪（-∞，-3）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．