Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ（1-x）²在[

1

2

，1]上的最大值為a_n（n=1，2，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n之和為S_n，證明：對(duì)任意正整數(shù)n都有S_n＜

7

16

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）易求f′_n（x）=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]，經(jīng)分析可得n=1時(shí)，a1=f1(

1

2

)=

1

8

；當(dāng)x∈[

1

2

，

n

n+2

)時(shí)f′_n（x）＞0，當(dāng)x∈(

n

n+2

，1)時(shí)f′_n（x）＜0，函數(shù)f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，利用分析法：要證an=

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，即證(1+

2

n

)n≥4，再利用二項(xiàng)式定理即可證得該式成立，從而使結(jié)論得證；
（3）當(dāng)n=1，2時(shí)結(jié)論成立；當(dāng)n≥3時(shí)，結(jié)合（2）的證明及放縮法的應(yīng)用，即可證得對(duì)任意正整數(shù)n都有S_n＜

7

16

成立．

解答： 解：（1）由f′n(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x]，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，由f′（x）=0得x=1或x=

n

n+2

；
當(dāng)n=1時(shí)，

n

n+2

=

1

3

∉[

1

2

，1]，f′₁（x）=0，則 a1=f1(

1

2

)=

1

8

；
當(dāng)n=2時(shí)，

n

n+2

∈[

1

2

，1]，則a2=f2(

1

2

)=

1

16

；
當(dāng)n≥3時(shí)，

n

n+2

∈[

1

2

，1]，
而當(dāng)x∈[

1

2

，

n

n+2

)時(shí)f′_n（x）＞0，當(dāng)x∈(

n

n+2

，1)時(shí)f′_n（x）＜0，
故函數(shù)f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，
即：an=fn(

n

n+2

)=

4nn

(n+2)n+2

，
綜上：an=

1 8 (n=1) 4nn (n+2)n+2 (n≥2)

…（6分）
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，要證an=

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，即證(1+

2

n

)n≥4，
而(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•(

2

n

)1+

C

2 n

•(

2

n

)2+…≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥4，
故不等式成立…（10分）
（3）當(dāng)n=1，2時(shí)結(jié)論成立；
當(dāng)n≥3時(shí)，由（2）的證明可知：Sn=

1

8

+

1

16

+a3+a4+…+an＜

1

8

+

1

16

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+2)2

＜

1

8

+

1

16

+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)＜

1

8

+

1

16

+

1

4

=

7

16

，
從而Sn＜

7

16

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的確定，突出考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析法、放縮法的綜合應(yīng)用及推理論證能力，屬于難題．