Question

已知x₁，x₂是函數f（x）=x²+mx+t的兩個零點，其中常數m，t∈Z，設T_n=

n

r=0

x₁^n-rx₂^r（n∈N^*）．
（1）用m，t表示T₁，T₂；
（2）求證：T₅=-mT₄-tT₃；
（3）求證：對任意的n∈N^*，T_n∈Z．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）,函數零點的判定定理

專題：證明題

分析：（1）依題意，知x₁+x₂=-m，x₁x₂=t，利用T_n=

n

r=0

x₁^n-rx₂^r（n∈N^*），易知T₁=x₁+x₂=-m，T₂=

2

r=0

x12-rx2r=x12+x₁x₂+x22=(x1+x2)2-x₁x₂=m²-t；
（2）由

k

r=0

x1k-rx2r，可得T₅=x₁T₄+x25=-mT₄-tT₃；
（3）利用數學歸納法證明即可．

解答：解：（1）x₁+x₂=-m，x₁x₂=t．
因為T_n=

n

r=0

x₁^n-rx₂^r（n∈N^*），所以T₁=x₁+x₂=-m，
T₂=

2

r=0

x12-rx2r=x12+x₁x₂+x22=(x1+x2)2-x₁x₂=m²-t…3分
（2）由

k

r=0

x1k-rx2r，得T₅=

5

r=0

x15-rx2r=x₁

4

r=0

x14-rx2r+x25=x₁T₄+x25．
即T₅=x₁T₄+x25．
所以x₂T₄=x₁x₂T₃+x25．
所以T₅=x₁T₄+（x₂T₄-x₁x₂T₃）=（x₁+x₂）T₄-x₁x₂T₃=-mT₄-tT₃…8分
（3）①當n=1，2時，由（1）知T_k是整數，結論成立．
②假設當n=k-1，n=k（k≥2）時結論成立，即T_k-1，T_k都是整數．
由T_k=

k

r=0

x1k-rx2r，得T_k+1=

k+1

r=0

x1k+1-rx2r=x₁

k

r=0

x1k-rx2r+x2k+1，
即T_k+1=x₁T_k+x2k+1，
所以T_k=x₁T_k-1+x2k，x₂T_k=x₁x₂T_k-1+x2k+1，
所以T_k+1=x₁T_k+（x₂T_k-x₁x₂T_k-1）=（x₁+x₂）T_k-x₁x₂T_k-1．
即T_k+1=-mT_k-tT_k-1．
由T_k-1，T_k都是整數，且m，t∈Z知，T_k+1也是整數，即n=k+1時，結論也成立．
由①②可知，對于一切n∈N^*，T_n∈Z…13分

點評：本題考查綜合法證明不等式，突出考查數學歸納法的應用，考查抽象思維、邏輯思維的綜合應用，考查推理證明的能力，屬于難題．