Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A+C=

2π

3

，b=1．
（1）記角A=x，f（x）=a+c，若△ABC是銳角三角形，求f （x）的取值范圍；
（2）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由已知先求得B=

π

3

，由正弦定理可得f（x）=a+c=2sin（A+

π

6

），由

π

6

＜A＜

π

2

，得

3

＜f（x）≤2．
（2）由（1）知B=

π

3

，b=1，由余弦定理得：1=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，由三角形面積公式S_△ABC=

1

2

acsinB，即可求面積的最大值．

解答： 解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，A+C=

2π

3

，解得B=

π

3

．（1分）
∵在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，b=1，
∴a+c=

1

sin π 3

•sinA+

1

sin π 3

•sinC
=

2 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

2 3

3

[sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2 3

3

sinA）]
=

3

sinA+cosA
=2sin（A+

π

6

），
即f（x）=2sin（A+

π

6

）．                                                     （4分）
∵△ABC是銳角三角形，∴

π

6

＜A＜

π

2

，得

π

3

＜x+

π

6

＜

2π

3

，于是

3

＜f（x）≤2，
即f （x）的取值范圍為（

3

，2]．                                              （6分）
（2）由（1）知B=

π

3

，b=1，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即1=a²+c²-2accos

π

3

，．
∴1=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立．（10分）
此時(shí)S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

acsin

π

3

=

3

4

ac≤

3

4

，
故當(dāng)a=c時(shí)，△ABC的面積的最大值為

3

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形面積公式的應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)值域的解法，屬于基本知識(shí)的考查．