Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項和，已知a₇=-2，S₅=30．
（1）求a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（12-a_n）

210-an

，T_n是{b_n}的前n項和，求證：

Tn

bn

＜2（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1+6d=-2 5a1+10d=30

，由此能求出a_n=-2n+12．
（2）由b_n=（12-a_n）

210-an

=2n•2^n-1=n•2ⁿ，利用錯位相減法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，由此能證明

Tn

bn

=

(n-1)•2n+1+2

n•2n

=2-

2n+1-2

n•2n+1

＜2．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項和，已知a₇=-2，S₅=30，
∴

a1+6d=-2 5a1+10d=30

，
a₁=10，d=-2，
∴a_n=10+（n-1）×（-2）=-2n+12．
（2）b_n=（12-a_n）

210-an

=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-2，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴

Tn

bn

=

(n-1)•2n+1+2

n•2n

=2-

2n+1-2

n•2n+1

＜2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．