Question

8．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表：

質(zhì)量指標(biāo)值m	m＜185	185≤m＜205	M≥205
等級(jí)	三等品	二等品	一等品

從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：
（1）根據(jù)以上抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”？
（2）在樣本中，按產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）該企業(yè)為提高產(chǎn)品的質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng)，活動(dòng)后再抽樣檢測，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X～N（218，140），則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算一、二等品所占比例的估計(jì)值，
判斷該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品是否符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”；
（2）由頻率分布直方圖知一、二、三等品的頻率值，
計(jì)算樣本中一等品、二等品、三等品的件數(shù)，
求出從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的情形，計(jì)算所求的概率值；
（3）計(jì)算“質(zhì)量提升月”活動(dòng)前、后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值，比較得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計(jì)值為
0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875，
由于該估計(jì)值小于0.92，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品
符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”；
（2）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5和0.125，
故在樣本中，一等品3件，二等品4件，三等品1件；
再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2種，
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；
②一等品1件，二等品2件，三等品1件，
故所求的概率為P=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}{+C}_{3}^{1}{•C}_{4}^{2}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$；
（3）“質(zhì)量提升月”活動(dòng)前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為
170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4；
“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X～N（218，140），
則數(shù)學(xué)期望E（X）=218；
所以“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了
218-200.4=17.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖與古典概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．