8.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表:
質(zhì)量指標(biāo)值mm<185185≤m<205M≥205
等級(jí)三等品二等品一等品
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測后得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”?
(2)在樣本中,按產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品的質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測,產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X~N(218,140),則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少?

分析 (1)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算一、二等品所占比例的估計(jì)值,
判斷該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品是否符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”;
(2)由頻率分布直方圖知一、二、三等品的頻率值,
計(jì)算樣本中一等品、二等品、三等品的件數(shù),
求出從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,一、二、三等品都有的情形,計(jì)算所求的概率值;
(3)計(jì)算“質(zhì)量提升月”活動(dòng)前、后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值,比較得出結(jié)論.

解答 解:(1)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),一、二等品所占比例的估計(jì)值為
0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875,
由于該估計(jì)值小于0.92,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品
符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”;
(2)由頻率分布直方圖知,一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5和0.125,
故在樣本中,一等品3件,二等品4件,三等品1件;
再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,一、二、三等品都有的情形有2種,
①一等品2件,二等品1件,三等品1件;
②一等品1件,二等品2件,三等品1件,
故所求的概率為P=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}{+C}_{3}^{1}{•C}_{4}^{2}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$;
(3)“質(zhì)量提升月”活動(dòng)前,該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為
170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4;
“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后,產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X~N(218,140),
則數(shù)學(xué)期望E(X)=218;
所以“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了
218-200.4=17.6.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖與古典概型的概率計(jì)算問題,是基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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甲校:
分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)
頻數(shù)25910
分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]
頻數(shù)141064
乙校:
分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)
頻數(shù)24816
分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]
頻數(shù)15663
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