Question

已知正項數(shù)列{a_n} 滿足S_n+S_n-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是數(shù){a_n} 的前n項和．
（1）求a₂及通項a_n；
（2）記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，若T_n＜2對所有的n∈N⁺都成立，求證：0＜t≤1．

Answer 1

分析：（1）將n=2代入已知等式，求出a₂，仿寫另一個等式，兩個式子相減得到數(shù)列的項的遞推關系，利用等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項公式求得．
（2）根據(jù)第（1）問題結論利用裂項的方法即可求的不等式左邊當n≥2時的前n項和，進而問題轉化為t²（1-

1

n

）＜2對于n≥2，n∈N^*恒成立，再結合放縮法即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）a₁=1，S₂+S₁=ta₂²+2得a₂=0（舍去）或a2=

1

t

，
又S_n+Sn-1=ta_n²+2    （1）
S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3），
因為數(shù)列{a_n}為正項數(shù)列，∴an-an-1=

1

t

(n≥3)，
即數(shù)列{a_n}從第二項開始是公差為

1

t

的等差數(shù)列．∴an= 

1(n=1) n-1 t (n≥2)

----7 分
（2）當n=時T₁=t＜2；
n≥2時，T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+…+

t2

(n-1)n

=t+t2

n-1

n

要使T_n＜2對所有n∈N^*恒成立，只t+t2

n-1

n

≤2成立，
故0＜t≤1得證----（14分）

點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了通項與前n項和的關系、等差數(shù)列的知識、分類討論的思想以及恒成立的思想和問題轉化的能力．值得同學們體會反思．