Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|x-a|-1，x∈R．
（Ⅰ）當a=0時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=0時，（-x）²+|-x|+1=x²+|x|-1，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）討論x去掉絕對值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，討論對稱軸可求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，（-x）²+|-x|+1=x²+|x|-1，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）①當x＜a時，f（x）=x²-x+a-1=（x-$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{5}{4}$
若a≤$\frac{1}{2}$，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1；
若a＞$\frac{1}{2}$，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=a-$\frac{5}{4}$
②當x≥a時，f（x）=x²+x-a-1=（x+$\frac{1}{2}$）²-a-$\frac{5}{4}$
若a≤-$\frac{1}{2}$，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（-$\frac{1}{2}$）=-a-$\frac{5}{4}$且f（-$\frac{1}{2}$）≤f（a）
若a＞-$\frac{1}{2}$，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1
綜上，當a≤-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為-a-$\frac{5}{4}$；
當-$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1；
當a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f （x）的最小值為-$\frac{5}{4}$+a．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性和奇偶性，以及單調(diào)性，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和運算求解的能力，屬于中檔題．