Question

某校高一（2）班共有學(xué)生51人，據(jù)統(tǒng)計(jì)原來(lái)每人每年用于購(gòu)買(mǎi)飲料的平均支出是a元，若該班全體學(xué)生改飲某品牌的桶裝純凈水，經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查，其年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購(gòu)買(mǎi)純凈水的費(fèi)用，另一部分是其它費(fèi)用228元，其中，純凈水的銷(xiāo)售價(jià)x（元/桶）與年購(gòu)買(mǎi)總量y（桶）之間滿(mǎn)足如圖所示關(guān)系．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=120時(shí)，若該班每年需要純凈水380桶，請(qǐng)你根據(jù)提供的信息比較，該班全體學(xué)生改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用與該班全體學(xué)生購(gòu)買(mǎi)飲料的年總費(fèi)用，哪一種更少？說(shuō)明你的理由；
（3）當(dāng)a至少為多少時(shí)，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買(mǎi)飲料的年總費(fèi)用少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線(xiàn)方程，根據(jù)題目中兩組數(shù)據(jù)直接求出參數(shù)k，b，從而可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別比較兩種方式花錢(qián)數(shù)量，判斷哪一種花錢(qián)更少；
（3）設(shè)出每年購(gòu)買(mǎi)純凈水的費(fèi)用為P元與x的關(guān)系式，然后根據(jù)配方法求二次函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，
∵x=8時(shí)，y=400；x=10時(shí)，y=320．
∴

400=8k+b 320=10k+b

解之，得k=-40，b=720
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-40x+720（x＞0）；
（2）該班學(xué)生買(mǎi)飲料每年總費(fèi)用為51×120=6120（元），
當(dāng)y=380時(shí)，380=-40x+720，得x=8.5，
該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380×8.5+228=3458（元），
顯然，從經(jīng)濟(jì)上看飲用桶裝純凈水花錢(qián)少；
（3）設(shè)該班每年購(gòu)買(mǎi)純凈水的費(fèi)用為P元，則P=xy=x（-40x+720）=-40（x-9）²+3240
∴x=9時(shí)，P_max=3240
要使飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買(mǎi)飲料的年總費(fèi)用少，則51a≥P_max+228
解得a≥68，故a至少為68元時(shí)全班飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買(mǎi)飲料的年總費(fèi)用少．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選取與應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)題意分別列出等式，并根據(jù)二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．