Question

（2013•閘北區(qū)二模）和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F（x，y，z）=0．
設(shè)F₁、F₂為空間中的兩個(gè)定點(diǎn)，|F₁F₂|=2c＞0，我們將曲面Γ定義為滿足|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞c）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．
（1）試建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz，求曲面Γ的方程；
（2）指出和證明曲面Γ的對(duì)稱性，并畫出曲面Γ的直觀圖．

Answer 1

分析：（1）以直線F₁F₂為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為x軸，以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y，z），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，以a、c為參數(shù)建立關(guān)于x、y、z的等式，再移項(xiàng)、平方，化簡(jiǎn)整理得二次方程為

x2

a2-c2

+

y2

a2

+

z2

a2-c2

=1，即為所求曲面Γ的方程；
（2）根據(jù)空間關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面對(duì)稱的公式，分別對(duì)（1）求出的方程加以驗(yàn)證，可得曲面Γ是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于三條坐標(biāo)軸對(duì)稱，也關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱的圖形．因此不難作出它的直觀圖，如圖所示．

解答：解：（1）以兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以F₁，F(xiàn)₂所在的直線為y軸，以線段F₁F₂的垂直平分線為x軸，
以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示
則F₁（0，c，0），F(xiàn)₂（0，-c，0），設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y，z），可得
|F₁F₂|=2c＞0，|

PF1

|+|

PF2

|=2a(a＞c)，
∴

x2+(y+c)2+z2

+

x2+(y-c)2+z2

=2a，
移項(xiàng)得

x2+(y+c)2+z2

=2a-

x2+(y-c)2+z2

兩邊平方，得∴a

x2+(y-c)2+z2

=a2-cy，
兩邊平方，整理得

x2

a2-c2

+

y2

a2

+

z2

a2-c2

=1
令

a2-c2

=b，得

x2

b2

+

y2

a2

+

z2

b2

=1．①
因此，可得曲面Γ的方程為

x2

b2

+

y2

a2

+

z2

b2

=1．
（2）對(duì)稱性：
由于點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)（-x，-y，-z）也滿足方程①，
說(shuō)明曲面Γ關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱；                                                   
由于點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（x，-y，-z）也滿足方程①，
說(shuō)明曲面Γ關(guān)于x軸對(duì)稱；同理，曲面Γ關(guān)于y軸對(duì)稱；關(guān)于z軸對(duì)稱．
由于點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)（x，y，-z）也滿足方程①，
說(shuō)明曲面Γ關(guān)于xOy平面對(duì)稱；同理，曲面Γ關(guān)于xOz平面對(duì)稱；關(guān)于yOz平面對(duì)稱．
由以上的討論，可得曲面Γ的直觀圖如右圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題給出空間滿足到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)，求該點(diǎn)的軌跡．著重考查了橢圓的定義、軌跡方程求法和曲線與方程的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．