Question

若f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，則f₂₀₀₉′（x）=

cosx

．

Answer 1

分析：由題意對函數(shù)的變化規(guī)律進行探究，發(fā)現(xiàn)呈周期性的變化，且其周期是4，故只須研究清楚f₂₀₀₉（x）是一個周期中的第幾個函數(shù)即可得出其解析式．

解答：解：由題意f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀^′（x）=cosx，f₂（x）=f₁^′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂^′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃^′（x）=sinx，由此可知，在逐次求導的過程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開始計，周期是4，
∵2009=4×502+1，f₂₀₀₉（x）是一周中的第一個函數(shù)，故f₂₀₀₉（x）=cosx
故答案為cosx

點評：本題考查函數(shù)的周期性，探究過程中用的是歸納推理，對其前幾項進行研究得出規(guī)律，求解本題的關鍵一是要歸納推理的意識，一是對正、余弦函數(shù)的導數(shù)求法公式熟練掌握．本題易因為判斷不準f₂₀₀₉（x）一周期中的第幾個數(shù)而導致錯誤，要謹慎．