【題目】設銳角△ABC的外接圓上的任意一點P所對應的西姆松線為,P的對徑點為,的交點為。證明:上兩點P、Q,當且僅當,關于點N對稱其中,N為△ABC的九點圓的圓心

【答案】見解析

【解析】

先證明下面的引理.

引理1 △ABC的任兩條西姆松線不平行,

證明 否則,設分別與直線AB、AC交于點.

位似知其外接圓位似,位似中心為A.故三點共線,這與點都在上矛盾.

引理2當且僅當的對徑點時,,且的交點在九點圓

證明 充分性.

上的對徑點,對應的西姆松線分別為,其中,分別為,在上的射影.

易知,點在以為直徑的圓上,且.

故圓內(nèi)接四邊形與圓內(nèi)接四邊形相似,且交于點分別是的中點不妨設與凸四邊形內(nèi)部不相交(如圖).

設PP2與所夾角為.

.

易知分別為的中點.

從而,點K在的外接圓的弧上.

,

其中,R為的半徑,也是的直徑,則.

必要性.

的交點為S、T(也許S=T,且由充分性的證明知,必與有交點).

過點S、T與垂直的直線各有一條,由充分性知其中必有一條為(設其過點S).

又由引理1知上述兩條直線至多有一條是西姆松線,故由,且的交點在上知Q=P',即P、Q為的對徑點.

引理3對的兩條不同的直徑PP'、QQ',有P"≠Q(mào)".

證明 由引理2充分性的結論易證.

回到原題.

充分性.

的直徑PP'、QQ',且PP'⊥QQ'.不妨設PP'不與凸四邊形內(nèi)部相交,且PP’與的夾角分別為.

由QQ'⊥PP',則QQ'與的夾角分別為.

不妨設QQ'不與凸四邊形內(nèi)部相交.則由引理2知,在上,有,

且,.

的對徑點.

必要性.(同一法)

由充分性及引理3易證.

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