【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn),交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn) .
(1)若在線段上,是的中點(diǎn),證明;
(2)若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:設(shè)的方程為
.(1)由在線段上,又 ;(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為 (舍去),.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí).當(dāng)與軸垂直時(shí)與重合所求軌跡方程為.
試題解析:由題設(shè),設(shè),則,且
.
記過兩點(diǎn)的直線為,則的方程為.............3分
(1)由于在線段上,故,
記的斜率為的斜率為,則,
所以..................5分
(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,
則,
由題設(shè)可得,所以(舍去),.
設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.
當(dāng)與軸不垂直時(shí),由可得.
而,所以.
當(dāng)與軸垂直時(shí),與重合,所以,所求軌跡方程為 .........12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱(側(cè)棱垂直于底面,且底面是正三角形)中,是棱上一點(diǎn).
(1)若分別是的中點(diǎn),求證:平面;
(2)求證:不論在何位置,四棱錐的體積都為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立;
(3)若正實(shí)數(shù)滿足,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù),其中,曲線過點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線方程為.
(I)求的值;
(II)證明:當(dāng)時(shí),;
(III)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)和.
(1)若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:千元)對(duì)年銷售量(單位: )和年利潤(rùn)(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷, 與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與、的關(guān)系為.根據(jù)(2)的結(jié)果要求:年宣傳費(fèi)為何值時(shí),年利潤(rùn)最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù), ,…, 其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE與D1F所成的角;
(Ⅲ)證明:面AED⊥面A1FD1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線在處的切線的方程為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù),都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若在上存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,當(dāng)時(shí),與的圖象在處的切線相同.
(1)求的值;
(2)令,若存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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