Question

9．某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板ABCD，其中頂點B、C在半徑ON上，頂點A在半徑OM上，頂點D在$\widehat{NM}$上，∠MON=$\frac{π}{3}$，ON=OM=$\sqrt{3}$．設∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．
（1）用含θ的式子表示DC、OB的長；
（2）試將S表示為θ的函數(shù)
（3）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可表示出DC，OB；
（2）求出BC，代入面積公式得出S關(guān)于θ的函數(shù)；
（3）利用三角恒等變換化簡S（θ），根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值．

解答 解：（1）DC=ODsin∠DOC=$\sqrt{3}$sinθ，
∵tan∠MON=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{DC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴OB=$\frac{DC}{\sqrt{3}}$=sinθ，
（2）OC=ODcosθ=$\sqrt{3}$cosθ，
∴BC=OC-OB=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ，
∴S=BC•DC=$\sqrt{3}$sinθ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ=$\frac{3}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵0$＜θ＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴當2θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{6}$時，S取得最大值$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．