Question

4．設F為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦點，A，B，C為橢圓上的三點，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，則|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=3．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1焦點在x軸，求得左焦點為F（-2$\sqrt{3}$，0），設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）．根據(jù)，利用向量的坐標運算得到x₁+x₂+x₃=-9．則$\overrightarrow{FA}$=a+ex₁=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，$\overrightarrow{FB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，$\overrightarrow{FC}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₃，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由橢圓的第二定義算出$\overrightarrow{FA}$=a+ex₁=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，同理得到$\overrightarrow{FB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，$\overrightarrow{FC}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₃，相加并代入前面證出的等式，即可算出|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|的值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1焦點在x軸上，a=4，b=2，c=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓的左焦點為F（-2$\sqrt{3}$，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∴$\overrightarrow{FA}$=（x₁+2$\sqrt{3}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂+2$\sqrt{3}$，y₂），$\overrightarrow{FC}$=（x₃+2$\sqrt{3}$，y₃），
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（x₁+2$\sqrt{3}$）+（x₂+2$\sqrt{3}$）+（x₃+2$\sqrt{3}$）=0，可得x₁+x₂+x₃=-6$\sqrt{3}$．
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由橢圓的第二定義，
得：$\overrightarrow{FA}$=a+ex₁=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，同理得到$\overrightarrow{FB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，$\overrightarrow{FC}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₃，
∴|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=12+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+x₂+x₃）=12+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-6$\sqrt{3}$）=3．
故答案為：3．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查了向量的坐標運算、橢圓的第二定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，考查計算能力，屬于中檔題．