Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1）；
②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1），
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，設(shè)x＞0，得-x＜0，可求出f（x）=e^-x（x-1）判定①正確；
由f（x）解析式求出-1，1，0都是f（x）的零點(diǎn)，判定②錯(cuò)誤；
由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判斷③正確；
分別對(duì)x＜0和x＞0時(shí)的f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷f（x）的單調(diào)性，
根據(jù)單調(diào)性求f（x）的值域，可得?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，判定④正確．

解答 解：對(duì)于①，f（x）為R上的奇函數(shù)，設(shè)x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），∴f（x）=e^-x（x-1），①正確；
對(duì)于②，∵f（-1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，
∴f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），易得x＜-1時(shí)，f（x）＜0；
x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1），易得0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0；
∴f（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）；③正確；
對(duì)于④，x＜0時(shí)，f′（x）=e^x（x+2），得
x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（-2，0）上單調(diào)遞增；
∴x=-2時(shí)，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2時(shí)，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
x＞0時(shí)，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減；
x=2時(shí)，f（x）取最大值e^-2，且x＞2時(shí)，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域?yàn)椋?1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；④正確；
綜上，正確的命題是①③④，共3個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及不等式的解集、根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值、求函數(shù)值域的方法，是綜合性題目．