Question

F（-c，0）是雙曲線(xiàn)-=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)y²=4cx上一點(diǎn)，直線(xiàn)FP與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)E，且PE=FE，若雙曲線(xiàn)的焦距為2+2，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）
A．4
B．2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：確定∠FPF₂=90°，根據(jù)△FEO∽△FPF₂，可得PF₂=2a，過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)l，過(guò)P作PQ⊥l于Q，則PQ=PF₂=2a，利用Rt△FPQ∽R(shí)t△F₂FQ，在Rt△FEO中，利用勾股定理，雙曲線(xiàn)的焦距為2+2，建立方程，從而可求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)．
解答：解：拋物線(xiàn)y²=4cx的焦點(diǎn)F₂（c，0）
∵E為直線(xiàn)FP與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓的切點(diǎn)，PE=EF
∴OE為直線(xiàn)FP的中垂線(xiàn) （O為原點(diǎn)）
∴OP=OF=c
又FF₂=2c，O為FF₂中點(diǎn)，OP=c
∴∠FPF₂=90°（直角三角形中，直角頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線(xiàn)長(zhǎng)度為斜邊的一半）
根據(jù)△FEO∽△FPF₂，可得
∵EO=a，∴PF₂=2a
過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)l，過(guò)P作PQ⊥l于Q，則PQ=PF₂=2a 
又Rt△FPQ∽R(shí)t△F₂FQ，令PF=2x=2EF，∴，即，即x²=ac=EF²
∴在Rt△FEO中，OF²=EF²+EO²，即c²=ac+a²
∵雙曲線(xiàn)的焦距為2+2，
∴a²+（1+）a-（1+）²=0
∴
∴a₁=2，a₂=--3 （舍）
∴實(shí)軸長(zhǎng)為4
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的綜合，考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．