Question

14．已知圓C：（x-a）²+（y-b）²=2，圓心C在曲線y=$\frac{1}{x}$（x∈[1，2]）上．則ab=1，直線l：x+2y=0被圓C所截得的長(zhǎng)度的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]．

Answer 1

分析 由圓C：（x-a）²+（y-b）²=2，圓心C在曲線y=$\frac{1}{x}$（x∈[1，2]）上，可得ab，利用弦長(zhǎng)公式，可得結(jié)論．

解答 解：∵圓C：（x-a）²+（y-b）²=2，圓心C在曲線y=$\frac{1}{x}$（x∈[1，2]）上，
∴ab=1，
圓心到直線的距離d=$\frac{|a+2b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\frac{1}+2b|}{\sqrt{5}}$，
∵a∈[1，2]，∴b∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴d∈[$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\frac{3}{\sqrt{5}}$]，
∴直線l：x+2y=0被圓C所截得的長(zhǎng)度的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]
故答案為1，[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的運(yùn)用，考查弦長(zhǎng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．