Question

19．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足$\left\{\begin{array}{l}xy+2z=1\\{x^2}+{y^2}+{z^2}=5\end{array}\right.$則xyz的最小值為$9\sqrt{11}-32$．

Answer 1

分析 由xy+2z=1，可得z=$\frac{1-xy}{2}$=$\frac{1-t}{2}$．可得5=x²+y²+$（\frac{1-xy}{2}）^{2}$，≥±2xy+$\frac{（1-xy）^{2}}{4}$，化為：x²y²+6xy-19≤0，或：x²y²-10xy-19≤0．解出經(jīng)過(guò)比較利于二次函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：由xy+2z=1，可得z=$\frac{1-xy}{2}$=$\frac{1-t}{2}$．
∴5=x²+y²+$（\frac{1-xy}{2}）^{2}$≥2|xy|+$\frac{（1-xy）^{2}}{4}$，化為：x²y²+6xy-19≤0，或：x²y²-10xy-19≤0．
由x²y²+6xy-19≤0，解得：0≤xy≤-3+2$\sqrt{7}$．
由x²y²-10xy-19≤0，解得：5$-2\sqrt{11}$≤xy≤0．
∴xyz=xy×$\frac{1-xy}{2}$=$-\frac{1}{2}$$（xy-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，
可得：經(jīng)過(guò)比較利于二次函數(shù)的單調(diào)性可得：xy=5$-2\sqrt{11}$時(shí)，xyz取得最小值為$9\sqrt{11}-32$．
故答案為：$9\sqrt{11}-32$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．