已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．

（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡的方程；

（2）在曲線上有四個不同的點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

（1）(ⅰ）；（ⅱ） ；（2）. 四邊形面積的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）(ⅰ)由題意，,再結(jié)合解出的值從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(ⅱ)由條件“動圓過點，且與直線相切”知動圓圓心到定點的距離等于到定直線的距離，且定點不在定直線上，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線；

（2）由題設(shè)知直線和直線互相垂直相交于點，且分別與物拋線有兩個交點，因此兩直線的斜率均存在且不為零，所以解決問題的基本思路是以其中一條直線的斜率為自變量，利用直線與拋物線相交的位置關(guān)系，將四邊形的面積表示成直線斜率的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

試題解析：（1）(ⅰ)由已知可得

則所求橢圓方程 3分

(ⅱ)由已知可得動圓圓心的軌跡為拋物線，且拋物線 的焦點為 ，準(zhǔn)線方程為 ，則動圓圓心軌跡方程為 6分

（2）由題設(shè)知直線 的斜率均存在且不為零

設(shè)直線的斜率為, 則直線的方程為：

聯(lián)立

消去 可得 8分

由拋物線這義可知：

10分

同理可得 11分

又（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號)

所以四邊形面積的最小值為. 14分

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與拋物線的位置關(guān)系綜合.

 

練習(xí)冊系列答案
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如圖，是邊長為2的正方形，平面，，,且.

（1）求證：平面;

（2）求證：平面平面;

（3）求多面體的體積。

 

 

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已知拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相切，且該切點與橢圓的兩焦點構(gòu)成的三角形面積為2,則橢圓的離心率是（ ）

A. B. C. D.

 

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已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是 cm3．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年天津市薊縣高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

下列命題中是假命題的是( )

A．上遞減

B．

C．

D．都不是偶函數(shù)

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年天津市薊縣高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知關(guān)于的一元二次函數(shù)，設(shè)集合，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為和

（1）求函數(shù)有零點的概率；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年天津市薊縣高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，則( )

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年天津市高三5月理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=，AB =3．

則BD的長為 ．

 

 

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如圖，已知一四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側(cè)棱PC上的動點

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；

（2）證明：BD⊥AE。

（3）求二面角P-BD-C的正切值。

 

 

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