Question

已知數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列，a₁=1，a₂=3，點(diǎn)A（n，a_n），B（n+1，a_n+1），C（n+2，a_n+2），△ABC的外接圓圓心為M，且

MA

+

MC

=λ

MB

（λ∈R），則通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量關(guān)系，判斷三角形的性質(zhì)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系得到{a_n}是等差數(shù)列，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵△ABC的外接圓圓心為M，且

MA

+

MC

=λ

MB

（λ∈R），
∴得到△ABC是等腰三角形且AB=BC，
即

(n+1-n)2+(an+1-an)2

=

(n+2-n-1)2+(an+2-an+1)2

，
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列，
∴1+（a_n+1-a_n）²=1+（a_n+2-a_n+1）²，
即（a_n+1-a_n）²=（a_n+2-a_n+1）²，
即a_n+1-a_n=a_n+2-a_n+1，
即2a_n+1=a_n+2+a_n，
即數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=3-1=2，
故a_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案為：2n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形是等腰三角形以及判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．