Question

求證△ABC的三條高線交于一點．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：設(shè)△ABC的AB，AC邊上的高分別是CF，BE，它們交于點H，連結(jié)AH，如下圖． 　　設(shè)＝c，＝b，＝h，則 　　＝h－b，＝h－c． 　　∵CH⊥AB，BE⊥AC， 　　∴c·(h－b)＝0，b·(h－c)＝0，即 　　c·h－c·b＝0，b·h－b·c＝0． 　　兩式相減得c·h－h·b＝0，即(c－b)·h＝0． 　　∵＝c－b，∴BC⊥AH，即三角形三條高線交于一點． 　　證法2：設(shè)＝c，＝b， 　　∵與不共線，∴＝mc＋nb． 　　∵BC⊥AH，∴(mc＋nb)·(b－c)＝0，即 　　(m－n)b·c＋nb2－mc2＝0．① 　　又＝＋＝－c＋mc＋nb＝(m－1)c＋nb，BH⊥AC， 　　∴[(m－1)c＋nb]·b＝0，即 　　(m－1)b·c＋nb2＝0．　　�、� 　　由②－①得(n－1)b·c＋mc2＝0． 　　又＝＋＝(n－1)b＋mc， 　　故·＝[(n－1)b＋mc]·c＝(n－1)b·c＋mc2＝0． 　　∴CH⊥AB，∴三角形的三條高線交于一點．

提示：

直接證明三條直線交于一點不容易，為此先設(shè)出兩條邊上高線的交點，只要證明此交點與相應(yīng)三角形頂點的連線垂直三角形的另一邊即可，這樣正好應(yīng)用向量數(shù)量積進(jìn)行運算，完成證明．