已知等比數(shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)為a1，其前n項(xiàng)的和為Sn．?dāng)?shù)列{an2}的前n項(xiàng)的和為An，數(shù)列{（-1）n+1an}的前n項(xiàng)的和為Bn．
（1）若A2=5，B2=-1，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，比較BnSn與An的大小；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若|q|≠1，問是否存在常數(shù)λ（與n無關(guān)），使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
分析：（1）由題意知
，由此可知
an=-()n-2，或a
n=2
n-1．
（2）由題設(shè)條件知數(shù)列{a
n2}，{（-1）
n+1a
n}均為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為a
12，a
1，公比分別為q
2，-q．
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)q=1時(shí)，B
nS
n=na
12=A
n．當(dāng)q=-1時(shí)，B
nS
n=na
12=A
n．當(dāng)q≠±1時(shí)，B
2k-1S
2k-1=A
2k-1．綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，B
nS
n=A
n．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，存在常數(shù)
λ=，使得等式（B
n-λ）S
n+A
n=0恒成立．由此入手能夠推導(dǎo)出存在常數(shù)
λ=，使得等式（B
n-λ）S
n+A
n=0恒成立．
解答：解：（1）∵A
2=5，B
2=-1，
∴
∴
或
（2分）
∴
an=-()n-2，或a
n=2
n-1．（4分）
（2）∵
=()2=q2=常數(shù)，
=(-1)×=-q=常數(shù)，
∴數(shù)列{a
n2}，{（-1）
n+1a
n}均為等比數(shù)列，
首項(xiàng)分別為a
12，a
1，公比分別為q
2，-q．（6分）
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)q=1時(shí)，S
n=na
1，A
n=na
12，B
n=a
1，
∴B
nS
n=na
12=A
n．當(dāng)q=-1時(shí)，S
n=a
1，A
n=na
12，B
n=na
1，
∴B
nS
n=na
12=A
n．（8分）
當(dāng)q≠±1時(shí)，設(shè)n=2k-1（k∈N
*），
S2k-1=，
A2k-1==，
B2k-1==，
∴B
2k-1S
2k-1=A
2k-1．綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，B
nS
n=A
n．（10分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，存在常數(shù)
λ=，
使得等式（B
n-λ）S
n+A
n=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴
Sn=，
An=，
Bn=．
∴（B
n-λ）S
n+A
n=
[-λ]+=
-+=
-=
(-λ)．（14分）
由題設(shè)，
(-λ)=0對所有的偶數(shù)n恒成立，
又
≠0，∴
λ=．（16分）
∴存在常數(shù)
λ=，使得等式（B
n-λ）S
n+A
n=0恒成立．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．
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