【題目】已知函數(shù))在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)記兩個極值點分別為, ),求證: .

【答案】見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ求導(dǎo),將函數(shù)由兩個不等極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個不等零點,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題;(合理構(gòu)造函數(shù),將證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

試題解析:(Ⅰ)依題,函數(shù)的定義域為,所以方程有兩個不同根,即方程有兩個不同根.即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,可見,若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為,只須.令切點,所以,又,所以,

解得, ,于是,所以.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 分別是方程的兩個根,即.

作差得, ,即.

所以不等式,等價于,

下面先證,即證,

,,即證),

),則,

上單調(diào)遞增,∴,

得證,從而得證;

再證,即證,即證),

),則,

上單調(diào)遞減,∴,

得證,從而得證,

綜上所述, 成立,即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】湖南省某自來水公司每個月(記為一個收費周期)對用戶收一次水費,收費標(biāo)準(zhǔn)如下:當(dāng)每戶用水量不超過30噸時,按每噸2元收。划(dāng)該用戶用水量超過30噸但不超過50噸時,超出部分按每噸3元收取;當(dāng)該用戶用水量超過50噸時,超出部分按每噸4元收取。

(1)記某用戶在一個收費周期的用水量為噸,所繳水費為元,寫出關(guān)于的函數(shù)解析式;

(2)在某一個收費周期內(nèi),若甲、乙兩用戶所繳水費的和為214元,且甲、乙兩用戶用水量之比為3:2,試求出甲、乙兩用戶在該收費周期內(nèi)各自的用水量.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線關(guān)于軸對稱,頂點在坐標(biāo)原點,直線經(jīng)過拋物線的焦點.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線與拋物線相交于不同的兩點, ,且滿足,證明直線軸上一定點,并求出點的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一網(wǎng)站營銷部為統(tǒng)計某市網(wǎng)友2017年12月12日在某網(wǎng)店的網(wǎng)購情況,隨機(jī)抽查了該市60名網(wǎng)友在該網(wǎng)店的網(wǎng)購金額情況,如下表:

若將當(dāng)日網(wǎng)購金額不小于2千元的網(wǎng)友稱為“網(wǎng)購達(dá)人”,網(wǎng)購金額小于2千元的網(wǎng)友稱為“網(wǎng)購探者”.已知“網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購探者”人數(shù)的比例為2:3.

(1)確定的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;

(2)試根據(jù)頻率分布直方圖估算這60名網(wǎng)友當(dāng)日在該網(wǎng)店網(wǎng)購金額的平均數(shù)和中位數(shù);若平均數(shù)和中位數(shù)至少有一個不低于2千元,則該網(wǎng)店當(dāng)日被評為“皇冠店”,試判斷該網(wǎng)店當(dāng)日能否被評為“皇冠店”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).

k值;

,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式恒成立的t的取值范圍;

,且上的最小值為,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐, 底面底面為正方形, 分別是的中點.

(Ⅰ)求證: ;

(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)為奇函數(shù),且f( )=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若f( )=﹣ ,α∈( ,π),求sin(α+ )的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線 的焦點為圓的圓心.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若斜率的直線過拋物線的焦點與拋物線相交于兩點,求弦長.

【答案】(1);(2)8.

【解析】試題分析:(1)先求圓心得焦點,根據(jù)焦點得拋物線方程(2)先根據(jù)點斜式得直線方程,與拋物線聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理以及弦長公式得弦長.

試題解析:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心坐標(biāo)為,

即焦點坐標(biāo)為,得到拋物線的方程:

(2)直線 ,聯(lián)立,得到

弦長

型】解答
結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4﹣1:幾何證明選講
如圖,AB為⊙O直徑,直線CD與⊙O相切與E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,連接AE,BE.證明:

(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=ADBC.

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