Question

我們將不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．解決下列問題：
已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于4，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值）．設(shè)線段的中點(diǎn)為，與直線平行的拋物線的切點(diǎn)為．.

（1）求出拋物線方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；
（2）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；
（3）求的面積，證明的面積與、無關(guān)，只與有關(guān).

Answer 1

（1），，，（2），，（3）.

試題分析：（1）由拋物線定義得：，即，因此拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為．（2）因?yàn)镈點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)A，B中點(diǎn)，所以求D點(diǎn)坐標(biāo)就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解，即由，得，，點(diǎn).因?yàn)镃點(diǎn)為切點(diǎn)，利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別式為零進(jìn)行求解，即由,得，得.由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．（3）求三角形面積，必須觀察結(jié)構(gòu)，合理選用底邊與高.本題將CD選為底,則為高，利用（1）求出，則.的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)．
試題解析：（1），得，拋物線方程為．    2分
焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為．    4分
（2）由，得，
點(diǎn)          6分
設(shè)切線方程為，由,得，，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得    8分
由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．        10分
（3），．   12分
．        15分
的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)．      16分
（本小題也可以求，切點(diǎn)到直線的距離，相應(yīng)給分）