Question

已知函數(shù)f（x）=x|x|-mx
（1）證明：函數(shù)f（x）=x|x|-mx為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在（-2，0）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x|-mx，∴f（-x）=-x|x|+mx=-（x|x|-mx）=-f（x），
即函數(shù)f（x）=x|x|-mx為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-2，0）上的單調(diào)遞增．
證明：當(dāng)m=-2時(shí)，f（x）=x|x|+2x，
當(dāng)x∈（-2，0）上，f（x）=x|x|+2x=-x²+2x=-（x-1）²+1，
對(duì)稱(chēng)軸x=1，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
∴此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用相應(yīng)的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，難度不是太大．