已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)、,P為一個(gè)動點(diǎn),且滿足
(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個(gè)不同動點(diǎn).分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Q,證明為定值.
【答案】分析:(1)先設(shè)P(x,y),欲動點(diǎn)P的軌跡C的方程,即尋找x,y之間的關(guān)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到.
(2)先設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量關(guān)系及向量運(yùn)算法則,用A,B的坐標(biāo)表示出,最后看其是不是定值即可.
解答:解:(I)設(shè)P(x,y).
由已知,

(3分)

∴4y+8=4整理,得x2=8y
即動點(diǎn)P的軌跡C為拋物線,其方程為x2=8y.(6分)
(II)由已知N(0,2).

即得(-x1,2-y1)=λ(x2,y2-2)
將(1)式兩邊平方并把x12=8y1,x22=8y2代入得y12y2(3分)
解(2)、(3)式得,
且有x1x2=-λx22=-8λy2=-16.(8分)
拋物線方程為
所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是
,
即y=
解出兩條切線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(11分)
所以
=
所以為定值,其值為0.(13分)
點(diǎn)評:求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題   求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
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已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)M
(0,-2)
N
(0,2)
,P為一個(gè)動點(diǎn),且滿足
MP
MN
=
|
PN
|•|
MN
|

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個(gè)不同動點(diǎn)
AN
NB
.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Q,證明
NQ
AB
為定值.

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已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間的距離為2a,點(diǎn)MA、B兩點(diǎn)的距離之比為21,求動點(diǎn)M的軌跡方程.

 

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已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)M
(0,-2)
、N
(0,2)
,P為一個(gè)動點(diǎn),且滿足
MP
MN
=
|
PN
|•|
MN
|

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個(gè)不同動點(diǎn)
AN
NB
.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Q,證明
NQ
AB
為定值.

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