如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。（1）求證AM//平面BDE；　

（2）求二面角A-DF-B的大�。�

（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°。

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為N,連接NE,

 ∵N、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，

∴四邊形ANEM是平行四邊形，

∴AM∥NE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。---------------------3分

（Ⅱ） 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。

   則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,∴=(,

    又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是（）、（

  ∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。

∴為平面DAF的法向量。

又∵=（·=0，

∴ =（·=0 得

∴為平面BDF的法向量。

∴cos<>=

∴與的夾角是60º。

即所求二面角A—DF—B的大小是60º。-------------------------8分

（Ⅲ）設(shè)P(t,t,0)  (0≤t≤)得  

=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º

∴

解得或（舍去），

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)。-----------------------------------------------------12分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，過(guò)正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，則當(dāng)
MN
BN
最小時(shí)，CN=
5
-1
2
5
-1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=
2
，CE=2
2
，CE∥AF，AC⊥CE，
ME
=2
FM

（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大��；
（III）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）在線段AC上找一點(diǎn)P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點(diǎn)P的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的邊長(zhǎng)為
6
，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

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