Question

2．某烹任學院為了弘揚中國傳統(tǒng)的飲食文化，舉辦了一場由在校學生參加的廚藝大賽，組委會為了了解本次大賽參賽學生的成績情況，從參賽學生中抽取了n名學生的成績（滿分100分）作為樣本，將所得數(shù)經(jīng)過分析整理后畫出了評論分布直方圖和莖葉圖，其中莖葉圖收到污染，請據(jù)此解答下列問題：

（1）求頻率分布直方圖中a，b的值并估計此次參加廚藝大賽學生的平均成績；
（2）規(guī)定大賽成績在[80，90）的學生為廚霸，在[90，100]的學生為廚神，現(xiàn)從被稱為廚霸、廚神的學生中隨機抽取3人，其中廚神人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)第一組相關的數(shù)據(jù)可求得n的值，然后根據(jù)頻率=矩形面積，求得a，所有的面積之和為1，可求得b，
根據(jù)平均數(shù)=頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；
（2）根據(jù)條件求出廚霸與除神的人數(shù)，然后利用古典概率公式計算結果．

解答 解：由題意可知樣本容量n=$\frac{5}{0.0125×10}$=40，
∴a=$\frac{3}{40×10}$=0.0075，
由所有小矩形的面積總和為1，
則：（0.0075+0.0125+0.0150+b+0.0450）×10=1，
∴b=0.0200，
參加廚藝大賽學生的平均成績：0.55×0.125+65×0.2+75×0.45+85×0.15+95×0.075=73.5，
（2）由題意可知：廚霸由0.0150×10×40=6人，廚神由0.0075×10×40=3，
X的取值為：0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}•{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}•{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$．
X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

數(shù)學期望E（X）=$\frac{5}{21}$×0+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1．
∴數(shù)學期望E（X）=1．

點評 本題主要考察頻率分布直方圖、莖葉圖、古典概型的基礎知識，意在考察數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，屬于中檔題．