Question

2．某烹任學(xué)院為了弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)的飲食文化，舉辦了一場(chǎng)由在校學(xué)生參加的廚藝大賽，組委會(huì)為了了解本次大賽參賽學(xué)生的成績(jī)情況，從參賽學(xué)生中抽取了n名學(xué)生的成績(jī)（滿分100分）作為樣本，將所得數(shù)經(jīng)過分析整理后畫出了評(píng)論分布直方圖和莖葉圖，其中莖葉圖收到污染，請(qǐng)據(jù)此解答下列問題：

（1）求頻率分布直方圖中a，b的值并估計(jì)此次參加廚藝大賽學(xué)生的平均成績(jī)；
（2）規(guī)定大賽成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為廚霸，在[90，100]的學(xué)生為廚神，現(xiàn)從被稱為廚霸、廚神的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，其中廚神人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)第一組相關(guān)的數(shù)據(jù)可求得n的值，然后根據(jù)頻率=矩形面積，求得a，所有的面積之和為1，可求得b，
根據(jù)平均數(shù)=頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；
（2）根據(jù)條件求出廚霸與除神的人數(shù)，然后利用古典概率公式計(jì)算結(jié)果．

解答 解：由題意可知樣本容量n=$\frac{5}{0.0125×10}$=40，
∴a=$\frac{3}{40×10}$=0.0075，
由所有小矩形的面積總和為1，
則：（0.0075+0.0125+0.0150+b+0.0450）×10=1，
∴b=0.0200，
參加廚藝大賽學(xué)生的平均成績(jī)：0.55×0.125+65×0.2+75×0.45+85×0.15+95×0.075=73.5，
（2）由題意可知：廚霸由0.0150×10×40=6人，廚神由0.0075×10×40=3，
X的取值為：0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}•{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}•{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$．
X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=$\frac{5}{21}$×0+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1．
∴數(shù)學(xué)期望E（X）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察頻率分布直方圖、莖葉圖、古典概型的基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．